比宇宙更远的地方

波形设计——涡旋电磁波

2026-03-04T16:00:00.000Z

涡旋电磁波

1.轨道角动量(orbital angular momentum,OAM)

优点：

在平面波的基础上增加OAM调制，使其传播等相面由平面扭曲为空间螺旋结构。

同时利用不同整数模态之间的正交特性，可对波束内目标进行差异性度量与显示。

螺旋相位波前照射目标时，可直接在不同方位处形成相位差异，类似平面波对目标进行了角度分集照射，为波束内目标分辨提供了物理基础。

涡旋电磁波回波信号在模态域与方位角域的表征形成傅里叶变换对，具有直接在模态域快速处理和实现高分辨方位成像的潜力。

涡旋电磁波的另一优势为可以观测到旋转多普勒效应。

（可同时在视线方向与垂直视线方向产生多普勒频移）

2.涡旋电磁波的基本概念与特点

2.1定义：

将携带OAM的电磁波称为涡旋电磁波。

OAM：.其中，为模态数，为导向矢量

当时为平面波。

模态数的正负表示等相面的旋转方向，大小表示扭曲程度，模数越大，相位变化更剧烈。

2.2 产生

（1）螺旋赋形法

（2）环形阵列法。将阵元均匀放置在圆周上并对其调相，使相邻的阵元产生连续的相位延时，来模拟方位上整个周期的相位旋转。

（3）行波天线法

2.3 成像原理

平面波：

平面波成像通过雷达与目标的相对运动，波束扫描，阵列等方式得到差异性激励相位。

（差异性的来源是波程差）

涡旋波：

涡旋波成像通过差异性调制的波前与目标相互作用来获得所需相位差。

涡旋波辐射场相位分布可以看成是多个平面波从连续不同的方位角同时照射的结果，实现了角度分集的效果。

在单模态涡旋波照射下，任意两个位置之间的相位差是恒定的，不同时刻的接收回波所含的相位差相同，因此电磁涡旋成像需要使用多种模态的涡旋波照射目标。

通过遍历不同模态相互正交的涡旋电磁波照射观测目标，在不同方位向处形成差异性相位激励，再结合成像算法可实现目标凝视成像。

UCA可以通过改变馈电相位生成各种模态的电磁波。

3.电磁涡旋成像数学模型

基于环形阵列法的调相均匀圆阵电磁涡旋成像数学模型。

考虑半径为的UCA，发射天线个数为,圆心为坐标原点，阵列位于XOY平面。所有个天线独立地发射信号，产生涡旋电磁波，同时所有天线用于接收目标回波信号（多发多收体制，收发同体怎么实现？）。

对各阵元施加频率相同，初相不同的信号。其中，第个阵元的方位角为。

涡旋电磁波的模态为，为方便计算，暂不考虑幅度信息，即发射信号的幅度为1，则第个阵元的发射信号为:

$s_n(t)=\exp(j2\pi f_{c}t + j\varphi_{n})\exp(j2\pi\frac{1}{2}kt^{2})$

其中，为第个阵元的初相。为载频，为调频斜率，为快时间采样时刻。

远场信号模型：

发射:

远场中任一点处的信号(辐射场)为

$s_p(\alpha,\mathbf{r})=\sum_{n=0}^{N-1}\frac{\exp(jk|{\mathbf{r}-\mathbf{r_n}| + j\alpha\phi_n})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r_n}|} \\$

根据远场近似条件，有

$|\mathbf{r}-\mathbf{r_n}|\approx r-\hat{r}\cdot\mathbf{r_n}$

代入上式，有

$\begin{aligned}s_p(\alpha,\mathbf{r})&\approx\sum_{n=0}^{N-1}\frac{\exp(jk{(r-\hat{r}\cdot\mathbf{r_n}) + j\alpha\phi_n})}{r-\hat{r}\cdot\mathbf{r_n}} \\&\approx \frac{\exp(jkr)}{r}\sum_{n=0}^{N-1}\exp(-jk\hat{r}\cdot\mathbf{r_n}+j\alpha \phi_n) \\&=\frac{\exp(jkr)}{r}\sum_{n=0}^{N-1}\exp(-jk\hat{r}\cdot\mathbf{r_n})\exp(j\alpha \phi_n) \\&=\frac{\exp(jkr)}{r}\sum_{n=0}^{N-1}\exp(-jkasin\theta cos(\phi-\phi_n))\exp(j\alpha \phi_n) \\\end{aligned}$

其中，

$\hat{r}\cdot\mathbf{r_n}=asin\theta cos(\phi-\phi_n)$

上式还可以继续化简为第一类Bessel函数的近似:

$s_p(\alpha,\mathbf{r})\approx\frac{Nj^{-\alpha}}{r}J_{\alpha}(kasin\theta)\exp(jkr)\exp(j\alpha\phi)$

假设目标为理想的点散射模型，点P的后向散射系数为，则第个阵元的接收信号为

$\begin{aligned}&s_r^n(\alpha,\mathbf{r})=\sigma(r,\theta,\phi)s_p(\alpha,\mathbf{r})\times\frac{\exp(jk|\mathbf{r}-\mathbf{r_n}|)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r_n}|} \\&=\sigma(r,\theta,\phi)\frac{Nj^{-\alpha}}{r}J_{\alpha}(kasin\theta)\exp(jkr)\exp(j\alpha\phi) \\&\times \frac{\exp(jkr)\exp(-jk\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{r_n})}{r} \\&=\sigma(r,\theta,\phi)\frac{Nj^{-\alpha}}{r^2}J_{\alpha}(2kasin\theta)\exp(jkr)\exp(j\alpha\phi) \\&\times \exp(-jkasin\theta cos(\phi-\phi_n)) \\\end{aligned}$

接收:

接收时，同样对第个阵元的接收回波施加相移，采用相同的涡旋模式进行接收，将各阵元信号进行相干叠加，得到天线阵列输出为：

$s_r(\alpha,\mathbf{r})=\sum_{n=0}^{N-1}s_r^n(\alpha,\mathbf{r})\exp(j\alpha\phi_n)\\$

假设场景中存在个理想的散射点，第个散射点的强度为,散射点的位置为。根据线性叠加原理，目标回波可以表示为

$s_r(\alpha,k)=N^2\sum_{m=1}^{M}\frac{\sigma_m}{r_m^2}J_{\alpha}^2(kasin\theta_m)\exp(j2kr_m)\exp(j2\alpha\phi_m)\exp(-j\alpha\pi)$

回波包络受贝塞尔函数的平方调制，其调制规律与涡旋波辐射强度分布相同。

回波中包含3个相位项，前两项为距离、方位信息，第三项为无关项，解调时对每种模态的涡旋波的回波乘以其共轭可以消除。俯仰信息包含在回波包络中。

4.目标大俯仰角情况下傅里叶变换法成像

采用LFMCW-OAM涡旋波照射目标时，回波模型为平方贝塞尔函数加权的傅里叶基函数的线性组合，目距离和方位角可以利用傅里叶变换方法解耦得到。

但是幅度调制项中包含了与距离和方位角有关的频率和OAM模态,需要特别考虑幅度调制的影响。

当时，平方贝塞尔函数可以近似为

$J^2_{\alpha}(kasin\theta)\approx\frac{1}{\pi kasin\theta}[1-sin(\alpha\pi - 2kasin\theta)]$

上式中，回波信号的包络在波数维和模态维均可以近似为带有直流分量的正弦函数。

根据频域卷积定理，用傅里叶变换方法处理回波，重构得到的图像是目标散射点分布于上式二维谱的卷积结果。成像性能取决于平方贝塞尔函数在两个维度的谱性质，可以用点扩散函数表示为

$\mathcal{J}_\alpha(\phi)\triangleq\int_{-\alpha_m}^{\alpha_m}J_\alpha^2(kasin\theta)e^{-j\alpha\phi}d\alpha\\\mathcal{J}_k(r)\triangleq\int_{k_l}^{k_h}J_\alpha^2(kasin\theta)e^{-jkr}dk\\$

其中，与分别是涡旋电磁波的最高频率和最低频率，上式为模态维和波数维的PSF。根据平方贝塞尔函数可知，由于直流分量的存在，两个维度的PSF均在零点位置有峰值，且在两侧出现对称的正弦分量，零频处的单峰将提供目标分辨能力。

则目标散射点的二维散射强度分布可以由下式获得

$g(\phi,r)=\iint S_r(\alpha,k)\exp[-j(kr+\alpha\phi)]d\alpha dk$

即2D-FFT。

注意：当或是增大时，波束主瓣张角会变小，如果目标处于波束轴附近的主瓣照射区域，那么

目标所处的俯仰角将很小。因此，目标需位于远离波束轴的大俯仰区域才能保证成立。

5.FMCW-OAM radar

5.1发射信号：

$s_n(t,l)=e^{j2\pi f_c t+ jK\pi t^2}e^{jl\phi_n}$

其中，为载波频率，为调频斜率，为第个阵元相对参考阵元的相位差。

5.2接收信号:

$s_r(t,l)=\sum_{n=0}^{N-1}e^{j2\pi f_c (t-t^\prime_n)+ jK\pi (t-t_n^\prime)^2}e^{jl\phi_n} \\\approx NJ_l (kasin\theta_T)e^{jl\pi/2}e^{j2\pi f_c (t-\tau)+jK\pi(t-\tau)^2}e^{jl\phi_T}$

其中，目标在球坐标系下的位置为(斜距，方位，俯仰),为波数，为目标到达阵列中心的时延。

5.3去斜处理:

将接收回波与参考信号混频，得到中频信号为

$s_{IF}(t,l)\approx NJ_l(kasin\theta_T)e^{jl\frac{\pi}{2}}e^{j2\pi f_c\tau + jK\pi(2t\tau-\tau^2)}e^{jl\phi_T}$ $\tau=\frac{2R_T(t)}{c} \\=\frac{2\sqrt{(X_T+vtcos\phi_v)^2 + (Y_T+vtsin\phi_v)^2 + H^2 }}{c}\\\approx \frac{2(R_T+\frac{X_T cos\phi_v+Y_T sin\phi_v}{c}vt)}{c}$

令,上式可以近似为

$s_{IF}(t,l)=J_l(kasin\theta_T)e^{j2l\phi_T}e^{j4\pi(\frac{KR_T+\beta vf_c}{c})t}e^{j4\pi \frac{f_c R_T}{c}}$

5.4距离速度估计：

对距离维做FFT（离散形式直接乘以傅里叶基函数后加权求和）后，得到

$S(f,l)=J_l(kasin\theta_T)e^{jl\phi_T}e^{j4\pi R_T\lambda^{-1}}\sum_{p=0}^{P-1}e^{j2\pi(\frac{KR_T c^{-1}+f_d}{f_s}-\frac{P}{N})p}$ $S(f,l)=J_l(kasin\theta_T)e^{jl\phi_T}e^{j4\pi R_T\lambda^{-1}}\sum_{p=0}^{P-1}e^{j2\pi(\frac{KR_T c^{-1}+f_d}{f_s}-\frac{f}{P})p}$

其中，为多普勒频率。为采样频率，为波长。为快时间采样点。

则目标距离可以解算为

$\begin{aligned}&R_T = (f_T - f_d T )\frac{c}{2B} \\&\Delta R=\frac{c}{2B}\end{aligned}$

上式中，当满足以下条件:

$|\beta v|<\frac{c}{4Tf_c}$

则目标的脉间徙动可以忽略不计。

速度估计需要雷达发射多个周期信号。

距离FFT后，多脉冲的回波信号可以写为

$S(f,l,m)=PJ_l(kasin\theta_T)e^{jl\phi_T}e^{j4\pi(R_T+m\beta vT)\lambda^{-1}}$

当脉冲数较高时，目标速度引起的角度位置变化将不可忽略，可以由如下关系得到

$\begin{aligned}\phi(t)&=arctan\frac{Y_T+vtsin\phi_v}{X_T+vtcos\phi_v} \\&\approx \phi_T + \frac{sin\phi_v X_T-cos\phi_{v}Y_T}{R_T}vt\\&=\phi_T + \alpha vt\end{aligned}$

代入上式，可得

$S(f,l,m)=PJ_l(kasin\theta_T)e^{jl\phi_T}e^{j4\pi\frac{R_T}{\lambda}}e^{j(l\alpha+\frac{4\pi \beta}{\lambda})mTv}$

同样的，慢时间FFT后，得到

$S(f,l,f_v)=PJ_l(kasin\theta_T)e^{jl\phi_T}e^{j4\pi\frac{R_T}{\lambda}}\sum_{m=0}^{M-1} e^{j[(l\alpha+\frac{4\pi \beta}{\lambda})Tv-2\pi\frac{f_v}{M}]m}$

速度解算为

$v=\frac{2\pi \Omega_T}{MT(l\alpha+\frac{4pi\beta}{\lambda})}$

速度分辨率为

$\Delta v = \frac{2\pi}{MT(l\alpha+\frac{4pi\beta}{\lambda})}$

其中，

$\alpha = \frac{sin\phi_v X_T - cos\phi_v Y_T}{R_T}$

5.5角度估计：

目标的角度与模态构成了一对傅里叶变换对，因此可以直接用FFT处理来估计目标角度。

角度分辨率可由PSF得到。

$PSF = \int_{-l_m}^{l_m}e^{jl\phi}dl=2l_msinc(l_m\phi)\\\Delta \phi = \pi/l_m$

5.6 3-D 参数估计

假设雷达发射个模态的FMCW-OAM信号，快时间采样点为,慢时间采样点为，则回波数据矩阵为。

目标回波的幅度受平方贝塞尔函数调制，利用俯仰角信息可以进行补偿，消除贝塞尔函数对幅度的影响。

5.7总结

一些疑惑：

1.目标角度谱的幅度受到平方贝塞尔函数的调制，若想得到高精度的角度谱，需要消除该调制项的影响(未消除平方贝塞尔函数的影响时，在频谱上会出现伪像)。

而该调制项与阵列的半径、目标与阵列中心的仰角有关，仰角如何作为一个已知条件使用？

(若俯仰角可以预先估计得到，则可以消除平方贝塞尔函数的影响，同时可以用于问题2中的目标位置解算)

GRSL中雷达放置在固定的高度，对地面进行探测，可以根据一维距离像求出斜距，进而计算目标的俯仰角，从而补偿掉平方贝塞尔函数的影响。

一篇会议中提到，

2.目标的速度相位项中耦合了模态以及、这两个与目标的速度方向、目标坐标相关的项，如何正确解算目标的速度？

想法1：先估计目标的距离-角度谱，得到目标与阵列的斜距以及方位夹角，结合俯仰角，即可以确定目标的空间坐标，而利用该空间坐标，即可以反推目标的速度值（然而，还有个速度夹角是未知量？）。

想法2：速度分辨率与模态数挂钩，可以选择合适的模态数对应回波信号来估计速度，但是目标的速度夹角应该还是未知的，如何求解正确的速度。

游戏——蔚蓝

2026-02-01T16:00:00.000Z

蔚蓝

图1 蔚蓝封面

游戏介绍

《蔚蓝》（Celeste）是由Matt Makes Games Inc.与Extremely OK Games联合开发，并于2018年1月25日发行的像素风平台游戏。故事围绕抑郁症女孩玛德琳攀登塞莱斯特山的冒险展开，玩家需通过跳跃、空中突进与攀登机制，协助她克服内心恐惧并结识伙伴。
奖项：2018年TGA最佳独立游戏

游戏评价

为什么要登山？因为山就在那里吗？还是说，必须要找到一个让自己继续活下去的理由？

“登山”是一个抽象的目标，对女主而言，真正的意义在于直面现实，与心魔和解，此时，登山本身也被赋予了意义。

目的从来都不是登山，而是在一次次失败后，逐渐找回面对一切的勇气。

游戏——艾尔登法环

2026-01-26T16:00:00.000Z

艾尔登法环

图1 游戏封面

游戏介绍

艾尔登法环（Elden Ring，俗称老头环）是由FS（FromSoftware）社开发的魂系动作角色扮演游戏，发行于2022年2月25日，并于2024年6月21日推出DLC黄金树幽影。本体在2022年斩获TGA最佳年度游戏、最佳角色扮演、最佳游戏指导、最佳艺术指导、金摇杆年度游戏等多个奖项，实现游戏圈大满贯，且在小黑盒评分9.6分，steam特别好评。而其DLC黄金树幽影，尽管口碑相较本体差距较大，但仍获得24年TGA年度最佳提名。

游戏背景

艾尔登法环由FS社宫崎英高主导，并与小说家乔治·R·R·马丁（代表作：冰与火之歌）共同创作。故事发生在一个名为“交界地”的架空世界。

游戏评价

如果要用一个词来形容老头环，那“艺术品”当之无愧。作为我的第一款魂游，法环不仅仅是从美术视觉上给我带来了极大的冲击与震撼，其破碎而又不俗套的剧情同样引人入胜。“即使引导已经破碎，也请您当上艾尔登之王”，正如指头女巫的遗言所说，老头环延续了魂游弱引导的传统，在整个游戏主线中，只有零散的NPC及其惜字如金的对话。并且，作为对世界观的补充，游戏内设置了不少补充支线，但实话实说，若非社区内玩家们的分享，一周目萌新玩家很难独立完成哪怕是一条简单的支线。即便如此，老头环仍然是一部值得RPG爱好者反复品味的神作。

当褪色者在侯王礼拜堂苏醒，带着女巫的谏言踏上成王之路，在经过简短的新手教程，推开通往宁姆格福的大门后，映入眼帘的是宁姆格福的残垣断壁以及远处巍然高大的黄金树。没错，法环在传统魂游的箱庭玩法上进行了升级，大胆尝试了开放世界式的魂系游戏，并且，通俗一点来说，玩家任何能看到的地方，都能操作褪色者到达。开放世界魂游与黑魂系列最大的区别在于，玩家可以主动选择游玩顺序，不必在某一个地方死磕。这一改动极大提高了新人玩家的游戏体验，毕竟不是每个人天生就是ARPG高手，都需要一定时间的游戏经验才能够适应魂游的动作系统。

图2 初入宁姆格福

而本作也是非常细心的在宁姆格福的出生点设置了备受讨论度的萌新杀手大树守卫。当玩家从宁姆格福与黄金树的美术冲击中缓过神后，立马可以注意到不远处那个身披金甲，手持黄金戟与大盾，驾马闲庭信步的黄金树守护者。大树守卫的战斗风格较为单调，但是具有远超萌新属性的数值，因此此时避开大树守卫，选择在宁姆格福或是啜泣半岛练级才是最优选择。当然，也有不少“天才少年”以及头铁玩家靠着前期极为有限的属性以及装备成功挑战了大树守卫，但是不推荐新人效仿，笔者也是升到了十多级才靠着陨石术磨掉了大树守卫。回到刚才的话题，宫崎英高在引导之始设置大树守卫的目的，其实就是为了告诉各位玩家，作为一款全新的开放世界魂游，与其在数值不够时死磕BOSS，不如转变思路，先绕开关卡到适合升级的地区进行游玩。因此，老头环毫无争议的成为萌新入坑魂系游戏的最佳作品。

尽管游戏整体是开放世界的设定，但是除了部分野外BOSS以外，大部分主线BOSS都分布在每个地区的主城区内，而主城区则是贯彻了魂游的经典箱庭玩法。或许有着首次闯关的成就感加成，说到这里，就不得不提到游戏内的第一个大箱庭，也是社区玩家用脚投票无争议第一的箱庭——史东薇尔城。简单评价的话，史东薇尔城的规模、复杂度与隐藏道路设计得恰到好处，集合了一款箱庭游戏的优点。具体而言，当玩家经历了关卡前废墟的轮回厮杀，策马驰骋了整片宁姆格福，准备向湖之利耶尼亚进发时，阻挡在前进路线上的，是一片巍峨的军事要塞，这里，是第一位碎片君王“接肢”葛瑞克（俗称小葛）的领地。在游戏设定中，小葛是“永恒女王”玛莉卡与“初始之王”葛孚雷的直系后代，同时也是交界地的半神之一。但由于血脉过于稀薄，小葛本身实力相对其余半神较弱，作为一名黄金贵族，甚至舔过玛莲妮亚的义肢求饶。为了追求力量，小葛通过狩猎他人，并接上他们的肢体，逐渐积蓄力量，坚守着史东薇尔城，直到褪色者（玩家）的到来。回到箱庭设计本身，史东薇尔城并没有设置间隔过长的赐福点，因此玩家可以较为轻松的探索地图，不必担心随时可能会被守卫带走重跑三百六十五里路，而丰富的隐藏道路（门不能从这一侧打开），也满足了地图设计师的表现欲，让玩家能够在峰回路转间，将整个箱庭打通，达到柳暗花明又一村的效果。当通关整个箱庭的路线后，再简单击杀全游最弱的碎片君王小葛，无疑让玩家成就感拉满，不禁感慨：原来老头环就这么简单？

游戏进行到这里，倘若没有事先看过地图攻略，相信一定有不少玩家跟我一样，觉得这游戏体量真不错，二三十个小时几乎打完了一整片地图。然而惊喜的是，当结束史东薇尔城酣畅淋漓的战斗后，迎接褪色者们的是一片辽无边际的新天地——湖之利耶尼亚。没错，宁姆格福只不过是交界地的冰山一角，法环的世界的地表包含宁姆格福，啜泣半岛，湖之利耶尼亚，盖利德，亚坛高原，化圣雪原，巨人山顶这几个主要区域，细分之下，还有王城、圣树两个规模较大的区域，而地底则有深根、安瑟尔河与希芙拉河三个区域，上空还有封印着命定之死的天空城。

图3 交界地地表地图

To be continued.

游戏——戴森球计划

2026-01-26T16:00:00.000Z

戴森球计划

图1 游戏封面

戴森球的提出

戴森球(Dyson Sphere)源于美国物理学家弗里曼戴森在1959年提出的假想天体结构，旨在通过包围母恒星获取其全部能量输出。戴森于1959年在Science期刊发表了论文<人工恒星红外辐射源的搜寻>，首次提出了戴森球概念。而戴森球计划正是由国产游戏工作室重庆柚子猫游戏借鉴戴森所提概念为灵感设计并开发的一款太空模拟游戏。

游戏介绍

戴森球计划：发行于2021年1月21日，首发售价70RMB。

该游戏的背景设定为：在遥远的未来，人类进入高级文明，利用虚拟现实迭代模拟了空间与时间，并逐渐把人的意识转移到虚拟世界里。虚拟世界的运行需要强大的计算能力与能量，为此人类将超级计算机——“主脑”完全包裹太阳以获得持续的能量支持。人类在虚拟世界里有着真实全新的生活体验，能够感受生存的意义和价值。但是，随着意识数量的不断增长，主脑的计算能力也逐渐达到极限。如果要容纳更多的意识，就需要建造更多的能量供应。为此，空间管理联盟COSMO开启了代号为“戴森球计划”的工程项目。作为该计划的一名工程师，玩家将利用终端控制机甲前往陌生的星系，寻找各种原材料，制造各种零部件，并通过星际之间的物流网络，把不同星球上的工厂串联成一个庞大的跨星系工业帝国。

戴森球计划基于太空背景，本质是一款自动化工厂游戏。玩家将扮演能够上天入海的伊卡洛斯机器人，从一个地中海地貌的母星开始采集各类矿物，逐级制造合成材料，并逐步设计、建设流水线，在不断解锁与升级伊卡洛斯能力的同时，对科技树进行升级，最终实现戴森球的建造。

推荐指数: 5星好评

游戏评价

不知不觉，戴森球已经发售了5周年，最近在小黑盒刷到官方开发者发布的五周年纪念视频，加上近期新上线的明日方舟：终末地内置带起了拉电线的梗图，不禁勾起了22年第一次玩戴森球计划的记忆。作为一款steam好评如潮以及小黑盒评分9.8的游戏，毫不夸张的说，戴森球称得上是国产自动化工厂游戏之光。

21年1月发行版本中不存在战斗元素与蓝图系统，因此这个时期入坑的玩家大多数都是”手搓代码”，通过自己探索以及社区共享来设计流水线。21年7月的更新新增了蓝图系统，至此开启了自动化玩法，通过复制粘贴蓝图可以实现批量化的流水线建设，社区涌现大量以设计、优化蓝图方案为核心玩法的玩家。一些耳熟能详的蓝图方案，例如极地超市、太阳能锅盖/腰带、一物一塔等也成为了广大玩家建设新星球的最常用蓝图。

然而，蓝图系统对于新入坑的玩家而言在一定程度上会折损游戏寿命，虽然效率极高，但是却缺少了初期探索的乐趣。相信大多数玩家在接触这款游戏时首先会充分发挥自身的想象力去设计产线，尽管最终大部分人的母星都会变成盘丝洞，但这正是自动化工厂游戏的魅力所在。当一步步解锁蓝糖、红糖、黄糖、紫赯，摸到绿糖的门槛后，终于解锁了这个游戏的最终形态——星际旅行。

由于绿糖产线中存在副产品空间翘曲器，而伊卡洛斯通过消耗翘曲器能够实现曲速飞行，因此，玩家的活动范围将不再拘泥于母星系的两三颗小行星，而是着眼于整个银河系。此时，在“厌倦”了母星的盘丝洞之后，我选择了将母星最值钱的东西（当然是物流塔）全部打包带走，背井离乡，寻找一个矿产种类最多的星系开始新的发展。而对新星系的选择，如果是纯新玩家，可以根据矿产种类的数量进行选取，以设计流水线、生成自己的蓝图为第一目的，如果对设计蓝图没有特别的想法，此时已经可以使用一物一塔等高效蓝图进行星球规划。当然，在新星球上，建议首先使用超市、太阳能腰带/锅盖等实用又简单的蓝图以提高建设效率。而对于有一定经验的玩家，可以直接选择亮度合适的恒星系，着手戴森球的建设。这里，先附上社区内十分火爆的红莲戴森球，如下图所示。

图2 红莲戴森球

值得一提的是，当玩家在新星系扎根，建设整洁高效的产线后，电力不足这个频频出现的警告应该是让大部分玩家头疼的问题。游戏前期除了太阳能这种效率较低的发电手段以外，大部分时候都是依靠火力发展来支撑产线的运转。然而，火力发电在扩大产线时容易出现断电问题，此时不得不提到中期过度必备的核电站。尽管核电非常烧钱，但止不住其发电效率实在太猛，在不占据太多地面面积的情况下就能实现数倍火力发电的效果。到这里，相信大部分人的游戏时间应该在30H左右，已经没有了初到母星时的青涩，满眼只有对星际扩张的渴望。那么在手持大量蓝图的情况下，大可以肆意在多个星系铺设一物一塔蓝图。一个比较简单的思路是，在资源相对较多，而地皮较少的星系仅生产最低级原材料，通过星际物流塔输送到另一个地皮较大的星系，在该星系整体进行加工，生产造球所需的必要工具。这时建议对每个星系都做好标记，因为游戏内的恒星系数量较多，频繁的曲率飞行容易搞得晕头转向。

除了造球之外，戴森球计划有一项玩家不断竞争、优化的数据指标，即白糖生产速度。白糖由五种不同颜色的糖外加一个反物质合成，是游戏大后期解锁新能力与新科技的道具。可以这么说，造球的最终目的就是为白糖提供源源不断的原材料与能源。其实在造出完整的戴森球壳之前，少量框架以及太阳帆已经可以为生产白糖提供足够的原材料，因此，造球与扩大白糖生产线其实是相辅相成的过程，并没有先后顺序之分。此时，玩家在经历火电的不稳定，以及核电的昂贵后，能源系统也将迎来全新的突破。在解锁人造恒星之后，通过反物质制造游戏能量密度最高的反物质能量棒（俗称黑棒）作为发电能源，仅凭极少量的占地面积就可以支撑整个行星的流水线运作。值得一提的是，受到行星建模的限制，极地地区的建设难度比较高，因此发电设施推荐放置在两极，而设备生产这种占地面积极大的产线可以放在较为宽敞的赤道两侧。而当能源问题不再是限制玩家星际扩张的掣肘，那在一物一塔蓝图的加持下，不如放空大脑，水多加面，面多加水，主打一个平平又衡衡。

到这里，游戏的大部分内容均已解锁，在实现能源自由以后，已经可以无压力铺设流水线，建设不同造型的戴森球。由于第一个存档玩得相对粗糙，我只造了两颗全包裹的戴森球，这里就不放图献丑了，社区内有不少造型酷炫的戴森球蓝图可供参考，链接回头补上。而对于追求自动化工厂生产效率的玩家，除了搓球以外，可以尝试对产线进行优化，使用更少的面积、设备实现更高的白糖产出，听起来是不是像是FPGA中减少逻辑单元、寄存器和其他硬件资源的使用，同时提升设计性能和效率。毫不夸张的说，戴森球计划是名副其实的行星电路板，是一份独属于工科生的浪漫。

雷达成像——多层介质场分布

2026-01-21T16:00:00.000Z

穿墙雷达格林函数

三层介质电场分布推导

成像区域为空气-墙体-空气，阵列在区域1（空气）中，目标在区域3（空气）中。发射天线的坐标为，接收天线的坐标为，目标的坐标为。

从阵元发射，到目标位置的格林函数为

$G_{t}\left( r_{tm},r_{0} \right)=T_{t}\frac{e^{jk|r_{tm}-r_{0}|}}{r_{tm}-r_{0}|} \tag{1}$

从目标反射，到阵元接收的格林函数为

$G_{r}\left( r_{rm},r_{0} \right)=T_{r}\frac{e^{jk|r_{rm}-r_{0}|}}{|r_{rm}-r_{0}|} \tag{2}$

其中，和分别为从区域1向区域3入射的透射系数以及从区域3向区域1入射的透射系数，可以根据广义透射系数的计算得到。

则雷达接收信号可以表示为

$E\left( r_{tm},r_{rm} \right)=\int{G_{t}\left( r_{tm},r_{0}\right){G_{r}}\left( r_{rm},r_{0} \right)\delta \left( r_{0} \right)}dr \tag{3}$

其中，为目标的散射强度.

考虑三层介质，如图2所示，阵元发射信号由区域1向区域2与区域3入射，目标位于区域3。阵元发射信号在区域3中只存在透射波，并且，在该发射信号照射到目标点后，会形成反射信号，再次穿过墙体后被接收天线接收。

空气-墙体-空气这三层介质结构包含2个介质分界面，因此可以计算其广义反射系数与广义透射系数。下层区域的下行波可以由上层区域的下行波计算得到，假设三层介质中的波分别为

$e_{1y} = A_1\left[ e^{-jk_{1z} z} + \tilde{R}_{1,2}e^{j2k_{1z}d_1 + jk_{1z}z} \right]\tag{4}$ $e_{2y} = A_2\left[ e^{-jk_{2z} z} + \tilde{R}_{2,3}e^{j2k_{2z}d_2 + jk_{2z}z} \right]\tag{5}$ $e_{3y} = A_3 e^{-jk_{3z}z} \tag{6}$

菲涅尔定理

广义反射系数

区域1的反射波是来自区域2的上行波的线性叠加，因此，该界面的广义反射系数可以写为

$\tilde{R}_{12} = R_{12} + T_{12} R_{23} T_{21} e^{j2k_{2z}\left(d_2 - d_1\right)} + T_{12} R_{23}^2 R_{21} T_{21} e^{j4k_{2z}\left(d_2 - d_1\right)} + \cdots \tag{7}$

上式包含了来自下层区域在第一个介质分界面的多次反射和透射结果。考虑第i层介质分界面的广义反射系数，将式(7)改写为

$\tilde{R}_{i,i+1} = R_{i,i+1} + \frac{ T_{i,i+1} \tilde{R}_{i+1,i+2} T_{i+1,i} e^{j2k_{i+1,z}\left( d_{i+1} - d_i \right)}}{1 - R_{i+1,i} \tilde{R}_{i+1,i+2} e^{j2k_{i+1,z}\left(d_{i+1} - d_1\right)}}\tag{8}$

代入以及，上式可以化简为

$\tilde{R}_{i,i+1} = \frac{R_{i,i+1} + \tilde{R}_{i+1,i+2} e^{j2k_{i+1,z}\left(d_{i+1} - d_i\right)}}{1 + R_{i,i+1} \tilde{R}_{i+1,i+2} e^{j2k_{i+1,z}\left(d_{i+1} - d_{i}\right)}}\tag{9}$

由于最后一层介质不存在反射波，只存在透射波，因此可以令。本文考虑空气-墙体-空气是三层介质结构，因此，可得。结合式(9)可以逆推得到两层介质分界面的广义反射系数为

介质分界面2：

$\tilde{R}_{2,3} = \frac{R_{2,3} + \tilde{R}_{3,4} e^{j2k_{3,z}\left(d_3 - d_2\right)}}{1 + R_{2,3} \tilde{R}_{3,4} e^{j2k_{3,z}\left(d_3 - d_2\right)}} = \frac{R_{2,3} + 0 \cdot e^{j2k_{3,z}\left(d_3 - d_2\right)}}{1 + R_{2,3} \cdot 0 \cdot e^{j2k_{3,z}\left(d_3 - d_2\right)}} \tag{10}= R_{2,3}$

介质分界面1：

$\tilde{R}_{1,2} = \frac{R_{1,2} + \tilde{R}_{2,3} e^{j2k_{2,z}\left(d_2 - d_1\right)}}{1 + R_{1,2} \tilde{R}_{2,3} e^{j2k_{2,z}\left(d_2 - d_1\right)}} = \frac{R_{1,2} + R_{2,3} e^{j2k_{2,z}\left(d_2 - d_1\right)}}{1 + R_{1,2} R_{2,3} e^{j2k_{2,z}\left(d_2 - d_1\right)}} \tag{11}$

其中与可由下式计算得到

TE波

$R_{i,i+1} = \frac{\mu_{i+1} k_{i,z} z - \mu_i k_{i+1,z} }{\mu_{i+1} k_{i,z} z + \mu_{i} k_{i+1,z}}\tag{12}$

TM波

$R_{i,i+1} = \frac{\varepsilon_{i+1} k_{i,z} z - \varepsilon_i k_{i+1,z} }{\varepsilon_{i+1} k_{i,z} z + \varepsilon_{i} k_{i+1,z}}\tag{13}$

广义透射系数

对于介质分界面1，根据边界条件，令，区域2的下行波为区域1的下行波透射后的分量与区域2的上行波在分界面处的反射波的线性叠加，则有

$A_2 e^{j 2 k_{2,z} d_1} + R_{1,2} A_2 R_{2,3} e^{j 2 k_{2,z}d_2 - j k_{2,z} d_1} = A_1 e^{j k_{1,z} d_1 } T_{1,2} \tag{14}$

左侧是区域2的下行波以及区域2的上行波在分界面1处的反射波，右侧是区域1的下行波透射到区域2的分量。根据式(14)，可以得到与的关系为

$A_2 = \frac{T_{1,2} A_1 e^{j\left(k_{1,z} - k_{2,z}\right) d_1} }{1 - R_{2,1}\tilde{R}_{2,3} e^{j2 k_{2,z} \left( d_2 - d_1 \right)}} \tag{15}$

上文已经证明在三层介质中，，因此上式可以改写为

$A_2 = \frac{T_{1,2} A_1 e^{j\left(k_{1,z} - k_{2,z}\right) d_1} }{1 - R_{2,1} R_{2,3} e^{j2 k_{2,z} \left( d_2 - d_1 \right)}} \tag{16}$

由上式可以看到，相邻层的可以用上一层的$A_{i-1}表示，所以有

$A_{i} e^{j k_{i,z} d_{i-1}} = \frac{T_{i-1,i} A_{i-1} e^{j k_{i-1,z} d_{i-1}}}{1 - R_{i,i-1} \tilde{R}_{i,i-1} e^{j 2 k_{i,z} \left( d_i - d_{i-1} \right)}} = A_{i-1} e^{j k_{i-1,z} d_{i-1} }S_{i-1,i} \tag{17}$

其中

$S_{i-1,i} = \frac{ T_{i-1,i} }{ 1 - R_{i,i-1} \tilde{R}_{i,i+1} e^{j 2 k_{i,z} \left( d_i - d_{i-1} \right) } } \tag{18}$

在广义反射系数的推导中，已经给出了其解析解，而透射系数与反射系数可以通过菲涅尔定理得到，因此可以根据这几个已知参数计算得到。当区域1中的已知时，分层介质中的可以通过递推得到，如下所示

$\begin{aligned}A_i e^{j k_{1,z} d_{i-1}} &= A_1 e^{j k_{1,z} d_1} S_{1,2} e^{j k_{2,z} \left( d_2 -d_1\right ) } S_{2,3} \cdots e^{j k_{i-1,z} \left( d_{i-1} - d_{i-2} \right)} S_{i-1,i} \\&= A_1 e^{j k_{1,z} d_1} \prod_{j = 1}^{i-1} e^{j k_{j,z} \left( d_j - d_{j-1} \right)} S_{j,j+1} \tag{19}\end{aligned}$

其中，由于区域1的介质是半无限的，为了使上式成立，需令。因此，第层的广义透射系数可以定义为

$\tilde{T}_{1,i} = \prod_{j=1}^{i-1} e^{j k_{j,z} \left( d_j - d_{j-1} \right)} S_{j,j+1} \tag{20}$

仿真分析

实验1:单层介质——空气

电磁波参数：频率100MHz，波长2.997924580000000m。
介质层数：1层空气，相对介电常数为1。
其中辐射源为VED，坐标设置在(0,0,0)处，且I=1A，l=0.5。
取rho=2，则该点源在空气中的分布与相位分布如下所示。

实验2：双层介质——半空间

电磁波参数：频率100MHz，波长2.997924580000000m
介质层数：2层，1个分界面，区域1为空气，相对介电常数为1，区域2相对介电常数为5。
上下均视为半无限介质，分界面坐标为z=-10m。
源为VED，坐标设置在(0,0,0)处，其中，I=1A，l=0.5。
取rho=2，则该点源在半空间中的分布与相位分布如下所示。

实验3：三层介质——空气-介质-空气

电磁波参数：频率100MHz，波长2.997924580000000m
介质层数：3层，2个分界面，区域1为空气，相对介电常数为1，区域2为墙体，相对介电常数为5，区域3为空气，相对介电常数为1。
介质层厚度为0.5m，2个分界面的坐标分别为z=-10m，z=-10.5m。
源为VED，坐标设置在(0,0,0)处，其中，I=1，l=0.5。
取rho=2，则该点源在三层介质中的分布与相位分布如下所示。

凸优化——ADMM

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概念

罚函数法

将约束优化问题转化为无约束优化问题。

为保证解的逼近质量，无约束优化问题的目标函数为原约束优化问题的目标函数加上与约束函数有关的惩罚项，对于可行域外的点，惩罚项为正，即对该点进行惩罚；对于可行域内的点，惩罚项为0，即不做任何惩罚。

惩罚项会促使无约束优化问题的解落在可行域内。

罚函数的罚因子的初值不应过小，否则不可行点处的函数下降可能抵消了罚函数对约束违反的惩罚。

应用举例：

1. LASSO问题求解

$\min_x \frac{1}{2}\|{Ax-b}\|^2+\mu\|x\|_1$

求解LASSO问题的最终目标是为了解决基追踪（BP）问题：

$\min\|{x}\|_1 \\\text{s.t. }Ax=b$

是一个欠定方程组。BP问题是一个等式约束的非光滑优化问题，使用二次罚函数作用于等式约束，则有

$\min_x \|{x}\|_1 + \frac{\sigma}{2}\|{Ax+b}\|^2$

令,则容易看出使用作为二次罚因子时，BP问题的罚函数子问题就等价于LASSO问题。

当趋于0时，LASSO问题的解收敛到BP问题的解。

增广拉格朗日函数法

增广拉格朗日函数法的每一步构造一个增广拉格朗日函数，而该函数的构造依赖于拉格朗日函数和约束的二次罚函数。

对于等式约束优化问题，增广拉格朗日函数定义为：

$L_{\sigma}(x,\lambda) = f(x) + \sum_{i\in \varepsilon}\lambda_i c_i (x) + \frac{1}{2}\sigma\sum_{i\in\varepsilon}c^2_i(x)$

交替方向乘子法

将目标函数分成彼此分离的两块，但是变量被线性约束结合在一起。

对于如下的凸问题：

$\min_{x_1,x_2} f_1(x_1) +f_2(x_2), \\\text{s.t. }A_1x_1+A_2x_2 = b$

首先写出其增广拉格朗日函数：

$\begin{aligned}L_{\rho} (x_1,x_2,y) = &f_1(x_1) + f_2(x_2) + y^T(A_1x_1 + A_2x_2 - b)+ \frac{\rho}{2}\|{A_1x_1 + A_2x_2 - b}\|^2_2\end{aligned}$

其中是二次罚项的系数，为拉格朗日乘子。

求解过程：

$x_1^{k+1} = \arg\min_{x_1}L_{\rho}(x_1,x_2^k,y^k) \\x_2^{k+1} = \arg\min_{x_2}L_{\rho}(x_1^{k+1},x_2,y^k) \\y^{k+1} = y^k + \tau\rho(A_1x_1^{k+1} + A_2x_2^{k+1} - b)$

其中为步长（update rate），通常取值为。

2-D DOA增广拉格朗日函数推导

考虑以下凸问题,

$\arg\min_x \frac{1}{2}\|{\mathbf{s}-\mathbf{Hx}}\|_2^2$

考虑几个约束项：

稀疏性：即同一距离单元中，散射体的数量有限。
紧密型：散射面是光滑连续的
分段常数：每个散射面的散射系数是一个恒定的常数
低能量：频谱能量有限
可行域有限

根据以上约束，对凸问题增加惩罚项。

则目标函数可以修改为：

$\mathcal{G}(\mathbf{x})=\frac{1}{2}\|{\mathbf{s}-\mathbf{Hx}}\|_2^2+\mu\|{\mathbf{Px}}\|_1+\lambda\|{\mathbf{D}_x\mathbf{x}}\|_1 +\lambda\|{\mathbf{D}_y\mathbf{x}}\|_1+\frac{v}{2}\|{\mathbf{x}}\|_2^2$

逐项分析：

第一项为数据拟合项

第二项为惩罚项1，为投影矩阵

第三项和第四项为惩罚项2，其中与为逐像素的差分矩阵（分别沿x方向与y方向）

第五项为二次罚项，其保证了目标函数的严格凸性，以确保解的唯一性

，, 三者皆为惩罚项的系数。

考虑使用ADMM方法求解上述凸问题。首先，引入辅助变量,则上述凸问题可以改写为

$\hat{\mathbf{x}}=\arg\min_{\mathbf{x,v} } \mathcal{K}(\mathbf{x,v}) \\\text{s.t. } \mathbf{v}_P=\mathbf{Px},\mathbf{v}_x = \mathbf{D}_x\mathbf{x}, \mathbf{v}_y=\mathbf{D}_y\mathbf{x}$

构造增广拉格朗日函数如下：

$\begin{aligned}\mathcal{L}(\mathbf{a},\mathbf{v},\mathbf{u})&=\mathcal{K}(\mathbf{x},\mathbf{v}) + \mathbf{u}^T_P(\mathbf{Px}-\mathbf{v}_P)+\frac{\rho_P}{2}\|{\mathbf{Px}-\mathbf{v}_P}\|_2^2 \\ &+ \mathbf{u}_x^T(\mathbf{D}_x\mathbf{x}-\mathbf{v}_x)+\frac{\rho_D}{2}\|{\mathbf{D}_x\mathbf{x}-\mathbf{v}_x}\| \\&+ \mathbf{u}_y^T(\mathbf{D}_y\mathbf{x}-\mathbf{v}_y)+\frac{\rho_D}{2}\|{\mathbf{D}_y\mathbf{x}-\mathbf{v}_y}\| \\&=\mathcal{K}(\mathbf{x},\mathbf{v}) + \mathbf{u}^T_P(\mathbf{Px}-\mathbf{v}_P)+\frac{\rho_P}{2}({\mathbf{Px}-\mathbf{v}_P})^T({\mathbf{Px}-\mathbf{v}_P})\\ &+ \mathbf{u}_x^T(\mathbf{D}_x\mathbf{x}-\mathbf{v}_x)+\frac{\rho_D}{2}({\mathbf{D}_x\mathbf{x}-\mathbf{v}_x})^T({\mathbf{D}_x\mathbf{x}-\mathbf{v}_x}) \\&+ \mathbf{u}_y^T(\mathbf{D}_y\mathbf{x}-\mathbf{v}_y)+\frac{\rho_D}{2}({\mathbf{D}_y\mathbf{x}-\mathbf{v}_y})^T({\mathbf{D}_y\mathbf{x}-\mathbf{v}_y}) \\\end{aligned}$

令 , , , 代入上式，可得

$\begin{aligned}\mathcal{L}(\mathbf{a},\mathbf{v},\mathbf{u})&=\mathcal{K}(\mathbf{x},\mathbf{v}) + \rho_P\alpha_P(\mathbf{Px}-\mathbf{v}_P)+\frac{\rho_P}{2}({\mathbf{Px}-\mathbf{v}_P})^T({\mathbf{Px}-\mathbf{v}_P})\\ &+ \rho_D\alpha_x(\mathbf{D}_x\mathbf{x}-\mathbf{v}_x)+\frac{\rho_D}{2}({\mathbf{D}_x\mathbf{x}-\mathbf{v}_x})^T({\mathbf{D}_x\mathbf{x}-\mathbf{v}_x}) \\&+ \rho_D\alpha_y(\mathbf{D}_y\mathbf{x}-\mathbf{v}_y)+\frac{\rho_D}{2}({\mathbf{D}_y\mathbf{x}-\mathbf{v}_y})^T({\mathbf{D}_y\mathbf{x}-\mathbf{v}_y}) \\&=\mathcal{K}(\mathbf{x},\mathbf{v}) + \rho_P\left(\alpha_P(\mathbf{Px}-\mathbf{v}_P)+\frac{1}{2}({\mathbf{Px}-\mathbf{v}_P})^T({\mathbf{Px}-\mathbf{v}_P})\right) \\ &+ \rho_D\left(\alpha_x(\mathbf{D}_x\mathbf{x}-\mathbf{v}_x)+\frac{1}{2}({\mathbf{D}_x\mathbf{x}-\mathbf{v}_x})^T({\mathbf{D}_x\mathbf{x}-\mathbf{v}_x})\right) \\&+ \rho_D\left(\alpha_y(\mathbf{D}_y\mathbf{x}-\mathbf{v}_y)+\frac{1}{2}({\mathbf{D}_y\mathbf{x}-\mathbf{v}_y})^T({\mathbf{D}_y\mathbf{x}-\mathbf{v}_y}) \right)\\\end{aligned}$

根据完全平方公式

$a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 \\\downarrow \\a^2+2ab = (a+b)^2-b^2$

该增广拉格朗日函数可以进一步化简为

$\begin{aligned}\mathcal{L}(\mathbf{a},\mathbf{v},\mathbf{u})&=\mathcal{K}(\mathbf{x},\mathbf{v}) + \rho_P\left(\alpha_P(\mathbf{Px}-\mathbf{v}_P)+\frac{1}{2}({\mathbf{Px}-\mathbf{v}_P})^T({\mathbf{Px}-\mathbf{v}_P})\right) \\ &+ \rho_D\left(\alpha_x(\mathbf{D}_x\mathbf{x}-\mathbf{v}_x)+\frac{1}{2}({\mathbf{D}_x\mathbf{x}-\mathbf{v}_x})^T({\mathbf{D}_x\mathbf{x}-\mathbf{v}_x})\right) \\&+ \rho_D\left(\alpha_y(\mathbf{D}_y\mathbf{x}-\mathbf{v}_y)+\frac{1}{2}({\mathbf{D}_y\mathbf{x}-\mathbf{v}_y})^T({\mathbf{D}_y\mathbf{x}-\mathbf{v}_y}) \right)\\&= \mathcal{K}(\mathbf{x},\mathbf{v})+ \frac{\rho_P}{2}\left({ \|{\mathbf{Px}-\mathbf{v}_P+\alpha_P}\|^2_2 - \|{\alpha}_P\|_2^2 }\right) \\ &+ \frac{\rho_D}{2}\left({ \|{\mathbf{D}_x\mathbf{x}-\mathbf{v}_x} + \alpha_x\|_2^2 - \|{\alpha_x}\|^2_2}\right) \\ &+ \frac{\rho_D}{2}\left({\|{\mathbf{D}_y\mathbf{y} - \mathbf{v}_y} + \alpha_y\|_2^2} - \|{\alpha_y}\|_2^2\right)\end{aligned}$

使用ADMM求解上述增广拉格朗日函数,每次固定待更新变量外的所有变量，对变量进行更新，具体如下：

初始化：

$\mathbf{v}^{(0)},\mathbf{u}^{(0)},k=0$

迭代：

$\begin{aligned}&\mathbf{x}^{(k+1)}=\arg\min_{\mathbf{x}} \mathcal{L}(\mathbf{x},\mathbf{v}^{(k)},\mathbf{u}^{(k)}) \\&\mathbf{v}_P^{(k+1)}=\arg\min_{\mathbf{v}_P} \mathcal{L}(\mathbf{x}^{(k+1)},\mathbf{v}_P,\mathbf{v}_x^{(k+1)},\mathbf{v}_y^{(k+1)},\mathbf{u}^{(k)}) \\ &\mathbf{v}_x^{(k+1)}=\arg\min_{\mathbf{v}_x} \mathcal{L}(\mathbf{x}^{(k+1)},\mathbf{v}_P^{(k+1)},\mathbf{v}_x,\mathbf{v}_y^{(k+1)},\mathbf{u}^{(k)}) \\ &\mathbf{v}_y^{(k+1)}=\arg\min_{\mathbf{v}_y} \mathcal{L}(\mathbf{x}^{(k+1)},\mathbf{v}_P^{(k+1)},\mathbf{v}_x^{(k+1)},\mathbf{v}_y,\mathbf{u}^{(k)}) \\ &\alpha_P^{(k+1)} = \alpha_P^{(k)}+\mathbf{P}\mathbf{x}^{k+1}-\mathbf{v}_P^{(k+1)} \\&\alpha_x^{(k+1)} = \alpha_x^{(k)}+\mathbf{D}_x\mathbf{x}^{(k+1)}-\mathbf{v}_x^{(k+1)} \\&\alpha_y^{(k+1)} = \alpha_y^{(k)}+\mathbf{D}_y\mathbf{x}^{(k+1)}-\mathbf{v}_y^{(k+1)} \\& k = k+1\end{aligned}$

计算电磁——介质电参数测量

2026-01-20T16:00:00.000Z

介质电磁特性测量——传统方法

1.自由空间法（Free-space Method）

1.1 自由空间反射法

利用介质的复反射系数进行反演，由于时域测量中无法直接测量出介质的复反射系数相位，因此需要引入幅值求相法求解相位。

单层介质场景下，上层为空气，中层为待测介质（MUT），下层为空气，考虑平面波入射。

当入射角为时，则介质面的反射系数为

$R_{\bot}=\frac{\eta_1 cos\theta_i - \eta_0 cos \theta_t}{\eta_1 cos\theta_i + \eta_0 cos \theta_t}$

其中，为介质1的波阻抗，为空气中的波阻抗，分别表示为

$\eta_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=120\pi \\\eta_1 = \sqrt{\frac{\mu_1}{\varepsilon_1}}$

因此，上表面的广义反射系数可以表示为

$\Gamma_{\bot} = \frac{R_{\bot}(1-exp(-2jk_{1z}d))}{1-R_{\bot}^2exp(-2jk_{1z}d)}$

由于时域反射系数测量时，天线需要正对介质板，则当TE波垂直入射时，反射系数表示为

$R_{\bot} = \frac{\mu_1 - \sqrt{\mu_1 \varepsilon_1}}{\mu_1 +\sqrt{\mu_1\varepsilon_1}}$

假设介质材料为非磁性，则，上式化简为

$R_{\bot} = \frac{1-\sqrt{\varepsilon_1}}{1+\sqrt{\varepsilon_1}}$

则广义反射系数化简为

$\Gamma_{\bot} = \frac{\frac{1-\sqrt{\varepsilon}}{1+\sqrt{\varepsilon}}(1-e^{-j2k_{1z}d})}{1-(\frac{1-\sqrt{\varepsilon}}{1+\sqrt{\varepsilon}})^2(1-e^{-j2k_{1z}d})} \\=\frac{(1-e^{-j2k_{1z}d})-\sqrt{\varepsilon_1}(1-e^{-j2k_{1z}d})}{(1-e^{-j2k_{1z}d})+\sqrt{\varepsilon_1}(1-e^{-j2k_{1z}d})}$

假设介质板厚度已知，则介质板反射系数仅为其复介电常数的函数，若反射系数已知，则可以反演出介质板复介电常数的值。

该求解过程为方程求逆过程，但是上式为复超越方程，无法直接求解，常用的数值方法为牛顿迭代法与割线法。

1.1.1.1牛顿迭代法

步骤：

a. 给出初始近似根和精度

b.根据初值，计算下一步迭代值

c.若，则执行下一步，否则将的值赋给，继续执行b

d.输出

2. 全波形反演(Full wave inversion, FWI)

3. Reverse-time migration (RTM)

深度学习方法

1.文献1——基于DNN的GPR数据介电常数反演

文献来源：

《Deep Neural Network-Based Permittivity Inversions for Ground Penetrating Radar Data》，IEEE Sensors Journal

主要内容：

传统方法存在的一些问题：

1.目前的方法仅从几个相邻的GPR中提取局部信息，而DL-based方法需要提取全局信息。

2.GPR B-scan得到的图像中，目标呈现伪双曲线分布，与实际目标尺寸不一致，因此网络需要能够自动对齐GPR B-scan图像与介电常数图像的空间分布。

网络架构：

网络结构图

PINet

作用：建立GPR B-scans图像与其介电常数地图的非线性映射。

网络架构如下图所示。

由3个部分组成：时间维数据压缩，全局特征编码，介电常数解码。

Loss Function：

结构化相似度指数(Structured Similarity Index, SSIM)，常作为图像相似度比较的标准，能够同时利用图像的结构，亮度以及对比度信息，计算方式如下：

$SSIM(a,b) = \frac{(2\mu_a\mu_b + c_1)(2\sigma_{a,b} + c_2)}{(\mu_a^2 + \mu_b^2 +c_1)(\sigma_a^2 +\sigma_b^2 + c_2)}$

其中，和分别为a和b的均值；和分别为a和b的方差；和均为常量。为ground truth，为预测的介质地图。

该论文基于SSIM准则，使用了结构不相似度来作为其loss function，可以写为

$DSSIM(a,b) = 1 - SSIM(a,b)$

上式的值介于0-1之间。

仿真实验

论文算法PINet，对比算法：GPRInvNet， FWI。

雷达成像——矢量波模型适配场景分析

2026-01-20T16:00:00.000Z

设发射天线位置为,散射体位置为,接收天线位置为。

发射天线到散射体的方向向量为,散射体到接收天线（以参考天线为例）的方向向量为。

发射天线为垂直地面放置的线极化天线，有。

根据并矢格林函数，发射天线在散射体位置激发的dipole方向为

$\begin{aligned}\mathbf{b}& = \hat{\mathbf{r} }_1\times (\hat{\mathbf{r} }_1\times \mathbf{Il}) \newline& = \hat{\mathbf{r} }_1(\hat{\mathbf{r} }_1\cdot\hat{z}) - \hat{z}(\hat{\mathbf{r} }_1\cdot\hat{\mathbf{r} }_1)\newline&=[x_1z_1,y_1z_1,z_1^2] - [0,0,x_1^2+y_1^2+z_1^2] \newline&=[x_1z_1,y_1z_1,-x_1^2-y_1^2]\end{aligned}$

induced dipole在接收天线处的电场方向为

$\begin{aligned}\mathbf{c} &= \hat{\mathbf{r} }_2\times (\hat{\mathbf{r} }_2 \times \mathbf{b})\newline\end{aligned}$

Case1:

当接收天线与发射天线共置（或是远场情况下，位置非常接近）时，,则上式可化简为

$\begin{aligned}\mathbf{c} &= -\hat{\mathbf{r}}_1\times(-\hat{\mathbf{r}}_1 \times \mathbf{b})\newline& = \hat{\mathbf{r}}_1(\hat{\mathbf{r}}_1\cdot\mathbf{b}) - \mathbf{b}(\hat{\mathbf{r}}_1\cdot\hat{\mathbf{r}}_1)\newline& = \mathbf{b}(\hat{\mathbf{r}}_1\cdot\hat{\mathbf{r}}_1)\end{aligned}$

其中，由于与垂直，则有。此时为的共线向量。

若用方向计算目标到接收天线的电场方向，则为

$\begin{aligned}\mathbf{d}&=\hat{\mathbf{r}}_2\times (\hat{\mathbf{r}}_2\times \hat{z}) \newline& \approx -\hat{\mathbf{r}}_1\times (-\hat{\mathbf{r}}_1\times \hat{z}) \newline& = -\mathbf{b}\end{aligned}$

此时与共线。

若用任意方向计算目标到接收天线的电场方向，则有

$\begin{aligned}\mathbf{e} &= \hat{\mathbf{r}}_2\times (\hat{\mathbf{r}}_2\times\mathbf{l}) \newline& \approx \hat{\mathbf{r}}_1 \times (\hat{\mathbf{r}}_1\times\mathbf{l}) \newline& = \hat{\mathbf{r}}_1(\hat{\mathbf{r}}_1\cdot \mathbf{l}) - \mathbf{l}(\hat{\mathbf{r}}_1\cdot\hat{\mathbf{r}}_1 ) \newline& = \hat{\mathbf{r}}_1(x_1x_3+y_1y_3+z_1z_3) - \mathbf{l} (x_1^2 + y_1^2 + z_1^2) \newline& = [x_1^2x_3+x_1y_1y_3+x_1z_1z_3,x_1x_3y_1+y_1^2y_3 + y_1z_1z_3,x_1x_3z_1+y_1y_3z_1+z_1^2z_3] \newline& - [x_1^2x_3+x_3y_1^2+x_3z_1^2,x_1^2y_3+y_1^2y_3+y_3z_1^2,x_1^2z_3+y_1^2z_3+z_1^2z_3] \newline& = [x_1y_1y_3 + x_1z_1z_3 - x_3y_1^2 - x_3z_1^2,x_1x_3y_1+y_1z_1z_3 - x_1^2y_3 - y_3z_1^2,x_1x_3z_1 +y_1y_3z_1 - x_1^2z_3 - y_1^2z_3] \newline\end{aligned}$

判断与是否共线,即

$\begin{aligned}\mathbf{e}\times\mathbf{b} = \mathbf{0}.\end{aligned}$

已知:

显然，向量垂直于向量与, 向量垂直于向量，若两向量在与垂直的平面内共线，当且仅当它们同样垂直于。因此，问题转化为，即

$\begin{aligned}\mathbf{e}\cdot[y_1,-x_1,0]&=[\hat{\mathbf{r}}_1(\hat{\mathbf{r}}_1\cdot\mathbf{l})-\mathbf{l}(\hat{\mathbf{r}}_1\cdot\hat{\mathbf{r}}_1)]\cdot[y_1,-x_1,0] \newline& = -\mathbf{l}|\mathbf{r}_1|^2\cdot[y_1,-x_1,0] \newline& = -|\mathbf{r}_1|^2(x_3y_1 - x_1y_3)\end{aligned}$

故当，即时，与共线。

因此，使用矢量波模型在这类特殊情况下与标量波模型的效果一致。

1）当雷达天线与探测目标位于同一水平面时，如图1所示。显然，此时，恒成立，因此与共线。

图3

2）当雷达天线与探测目标处于不一水平面时，若用构造导向矢量，此时，恒成立，因此与共线。

图4

__Case2:__当接收天线与发射天线分置时，有

若用

方向计算目标到接收天线的电场方向，则为

一般情况：若用任意方向

计算目标到接收天线的电场方向，则有

若

与

共线，则有

注意到向量

垂直于

，向量

垂直于

。（收发分置的共线条件略显复杂）

，

三者共面时，题设成立。1）当雷达天线与目标在同一水平面（z相等），此时两者共线。

图5

2）当雷达天线与目标在不同水平面时，此时两者不共线。

图6