雷达成像——矢量波模型适配场景分析

设发射天线位置为,散射体位置为,接收天线位置为​。

发射天线到散射体的方向向量为,散射体到接收天线（以参考天线为例）的方向向量为。

发射天线为垂直地面放置的线极化天线，有。

根据并矢格林函数，发射天线在散射体位置激发的dipole方向为

$$\begin{aligned} \mathbf{b}& = \hat{\mathbf{r} }_1\times (\hat{\mathbf{r} }_1\times \mathbf{Il}) \newline & = \hat{\mathbf{r} }_1(\hat{\mathbf{r} }_1\cdot\hat{z}) - \hat{z}(\hat{\mathbf{r} }_1\cdot\hat{\mathbf{r} }_1)\newline &=[x_1z_1,y_1z_1,z_1^2] - [0,0,x_1^2+y_1^2+z_1^2] \newline &=[x_1z_1,y_1z_1,-x_1^2-y_1^2] \end{aligned}$$

induced dipole在接收天线处的电场方向为

$$\begin{aligned} \mathbf{c} &= \hat{\mathbf{r} }_2\times (\hat{\mathbf{r} }_2 \times \mathbf{b})\newline \end{aligned}$$

Case1:

当接收天线与发射天线共置（或是远场情况下，位置非常接近）时，,则上式可化简为

$$\begin{aligned} \mathbf{c} &= -\hat{\mathbf{r}}_1\times(-\hat{\mathbf{r}}_1 \times \mathbf{b})\newline & = \hat{\mathbf{r}}_1(\hat{\mathbf{r}}_1\cdot\mathbf{b}) - \mathbf{b}(\hat{\mathbf{r}}_1\cdot\hat{\mathbf{r}}_1)\newline & = \mathbf{b}(\hat{\mathbf{r}}_1\cdot\hat{\mathbf{r}}_1) \end{aligned}$$

其中，由于与垂直，则有。此时为的共线向量。

若用方向计算目标到接收天线的电场方向，则为

$$\begin{aligned} \mathbf{d}&=\hat{\mathbf{r}}_2\times (\hat{\mathbf{r}}_2\times \hat{z}) \newline & \approx -\hat{\mathbf{r}}_1\times (-\hat{\mathbf{r}}_1\times \hat{z}) \newline & = -\mathbf{b} \end{aligned}$$

此时与​共线。

若用任意方向计算目标到接收天线的电场方向，则有

$$\begin{aligned} \mathbf{e} &= \hat{\mathbf{r}}_2\times (\hat{\mathbf{r}}_2\times\mathbf{l}) \newline & \approx \hat{\mathbf{r}}_1 \times (\hat{\mathbf{r}}_1\times\mathbf{l}) \newline & = \hat{\mathbf{r}}_1(\hat{\mathbf{r}}_1\cdot \mathbf{l}) - \mathbf{l}(\hat{\mathbf{r}}_1\cdot\hat{\mathbf{r}}_1 ) \newline & = \hat{\mathbf{r}}_1(x_1x_3+y_1y_3+z_1z_3) - \mathbf{l} (x_1^2 + y_1^2 + z_1^2) \newline & = [x_1^2x_3+x_1y_1y_3+x_1z_1z_3,x_1x_3y_1+y_1^2y_3 + y_1z_1z_3,x_1x_3z_1+y_1y_3z_1+z_1^2z_3] \newline & - [x_1^2x_3+x_3y_1^2+x_3z_1^2,x_1^2y_3+y_1^2y_3+y_3z_1^2,x_1^2z_3+y_1^2z_3+z_1^2z_3] \newline & = [x_1y_1y_3 + x_1z_1z_3 - x_3y_1^2 - x_3z_1^2,x_1x_3y_1+y_1z_1z_3 - x_1^2y_3 - y_3z_1^2,x_1x_3z_1 +y_1y_3z_1 - x_1^2z_3 - y_1^2z_3] \newline \end{aligned}$$

判断与是否共线,即

$$\begin{aligned} \mathbf{e}\times\mathbf{b} = \mathbf{0}. \end{aligned}$$

已知:

,,

显然，向量垂直于向量与, 向量垂直于向量，若两向量在与垂直的平面内共线，当且仅当它们同样垂直于。因此，问题转化为，即

$$\begin{aligned} \mathbf{e}\cdot[y_1,-x_1,0]&=[\hat{\mathbf{r}}_1(\hat{\mathbf{r}}_1\cdot\mathbf{l})-\mathbf{l}(\hat{\mathbf{r}}_1\cdot\hat{\mathbf{r}}_1)]\cdot[y_1,-x_1,0] \newline & = -\mathbf{l}|\mathbf{r}_1|^2\cdot[y_1,-x_1,0] \newline & = -|\mathbf{r}_1|^2(x_3y_1 - x_1y_3) \end{aligned}$$

故当，即时，与​共线。

因此，使用矢量波模型在这类特殊情况下与标量波模型的效果一致。

1）当雷达天线与探测目标位于同一水平面时，如图1所示。显然，此时，恒成立，因此与共线。

图3

2）当雷达天线与探测目标处于不一水平面时，若用构造导向矢量，此时，恒成立，因此与共线。

图4

__Case2:__ 当接收天线与发射天线分置时，有 若用方向计算目标到接收天线的电场方向，则为 一般情况： 若用任意方向计算目标到接收天线的电场方向，则有 若与共线，则有 注意到向量垂直于，向量垂直于。（收发分置的共线条件略显复杂），，三者共面时，题设成立。 1）当雷达天线与目标在同一水平面（z相等），此时两者共线。

图5

2）当雷达天线与目标在不同水平面时，此时两者不共线。

图6