雷达成像——多层介质场分布

穿墙雷达格林函数

三层介质电场分布推导

成像区域为空气-墙体-空气，阵列在区域1（空气）中，目标在区域3（空气）中。发射天线的坐标为，接收天线的坐标为，目标的坐标为。

从阵元发射，到目标位置的格林函数为

$$G_{t}\left( r_{tm},r_{0} \right)=T_{t}\frac{e^{jk|r_{tm}-r_{0}|}}{r_{tm}-r_{0}|} \tag{1}$$

从目标反射，到阵元接收的格林函数为

$$G_{r}\left( r_{rm},r_{0} \right)=T_{r}\frac{e^{jk|r_{rm}-r_{0}|}}{|r_{rm}-r_{0}|} \tag{2}$$

其中，和分别为从区域1向区域3入射的透射系数以及从区域3向区域1入射的透射系数，可以根据广义透射系数的计算得到。

则雷达接收信号可以表示为

$$E\left( r_{tm},r_{rm} \right)=\int{G_{t}\left( r_{tm},r_{0}\right){G_{r}}\left( r_{rm},r_{0} \right)\delta \left( r_{0} \right)}dr \tag{3}$$

其中，为目标的散射强度.

考虑三层介质，如图2所示，阵元发射信号由区域1向区域2与区域3入射，目标位于区域3。阵元发射信号在区域3中只存在透射波，并且，在该发射信号照射到目标点后，会形成反射信号，再次穿过墙体后被接收天线接收。

空气-墙体-空气这三层介质结构包含2个介质分界面，因此可以计算其广义反射系数与广义透射系数。下层区域的下行波可以由上层区域的下行波计算得到，假设三层介质中的波分别为

$$e_{1y} = A_1\left[ e^{-jk_{1z} z} + \tilde{R}_{1,2}e^{j2k_{1z}d_1 + jk_{1z}z} \right]\tag{4}$$ $$e_{2y} = A_2\left[ e^{-jk_{2z} z} + \tilde{R}_{2,3}e^{j2k_{2z}d_2 + jk_{2z}z} \right]\tag{5}$$ $$e_{3y} = A_3 e^{-jk_{3z}z} \tag{6}$$

菲涅尔定理

广义反射系数

区域1的反射波是来自区域2的上行波的线性叠加，因此，该界面的广义反射系数可以写为

$$\tilde{R}_{12} = R_{12} + T_{12} R_{23} T_{21} e^{j2k_{2z}\left(d_2 - d_1\right)} + T_{12} R_{23}^2 R_{21} T_{21} e^{j4k_{2z}\left(d_2 - d_1\right)} + \cdots \tag{7}$$

上式包含了来自下层区域在第一个介质分界面的多次反射和透射结果。考虑第i层介质分界面的广义反射系数，将式(7)改写为

$$\tilde{R}_{i,i+1} = R_{i,i+1} + \frac{ T_{i,i+1} \tilde{R}_{i+1,i+2} T_{i+1,i} e^{j2k_{i+1,z}\left( d_{i+1} - d_i \right)}}{1 - R_{i+1,i} \tilde{R}_{i+1,i+2} e^{j2k_{i+1,z}\left(d_{i+1} - d_1\right)}}\tag{8}$$

代入以及，上式可以化简为

$$\tilde{R}_{i,i+1} = \frac{R_{i,i+1} + \tilde{R}_{i+1,i+2} e^{j2k_{i+1,z}\left(d_{i+1} - d_i\right)}}{1 + R_{i,i+1} \tilde{R}_{i+1,i+2} e^{j2k_{i+1,z}\left(d_{i+1} - d_{i}\right)}}\tag{9}$$

由于最后一层介质不存在反射波，只存在透射波，因此可以令。本文考虑空气-墙体-空气是三层介质结构，因此，可得。结合式(9)可以逆推得到两层介质分界面的广义反射系数为

• 介质分界面2：

$$\tilde{R}_{2,3} = \frac{R_{2,3} + \tilde{R}_{3,4} e^{j2k_{3,z}\left(d_3 - d_2\right)}}{1 + R_{2,3} \tilde{R}_{3,4} e^{j2k_{3,z}\left(d_3 - d_2\right)}} = \frac{R_{2,3} + 0 \cdot e^{j2k_{3,z}\left(d_3 - d_2\right)}}{1 + R_{2,3} \cdot 0 \cdot e^{j2k_{3,z}\left(d_3 - d_2\right)}} \tag{10} = R_{2,3}$$

• 介质分界面1：

$$\tilde{R}_{1,2} = \frac{R_{1,2} + \tilde{R}_{2,3} e^{j2k_{2,z}\left(d_2 - d_1\right)}}{1 + R_{1,2} \tilde{R}_{2,3} e^{j2k_{2,z}\left(d_2 - d_1\right)}} = \frac{R_{1,2} + R_{2,3} e^{j2k_{2,z}\left(d_2 - d_1\right)}}{1 + R_{1,2} R_{2,3} e^{j2k_{2,z}\left(d_2 - d_1\right)}} \tag{11}$$

其中与可由下式计算得到

• TE波

$$R_{i,i+1} = \frac{\mu_{i+1} k_{i,z} z - \mu_i k_{i+1,z} }{\mu_{i+1} k_{i,z} z + \mu_{i} k_{i+1,z}}\tag{12}$$

• TM波

$$R_{i,i+1} = \frac{\varepsilon_{i+1} k_{i,z} z - \varepsilon_i k_{i+1,z} }{\varepsilon_{i+1} k_{i,z} z + \varepsilon_{i} k_{i+1,z}}\tag{13}$$

广义透射系数

对于介质分界面1，根据边界条件，令，区域2的下行波为区域1的下行波透射后的分量与区域2的上行波在分界面处的反射波的线性叠加，则有

$$A_2 e^{j 2 k_{2,z} d_1} + R_{1,2} A_2 R_{2,3} e^{j 2 k_{2,z}d_2 - j k_{2,z} d_1} = A_1 e^{j k_{1,z} d_1 } T_{1,2} \tag{14}$$

左侧是区域2的下行波以及区域2的上行波在分界面1处的反射波，右侧是区域1的下行波透射到区域2的分量。根据式(14)，可以得到与的关系为

$$A_2 = \frac{T_{1,2} A_1 e^{j\left(k_{1,z} - k_{2,z}\right) d_1} }{1 - R_{2,1}\tilde{R}_{2,3} e^{j2 k_{2,z} \left( d_2 - d_1 \right)}} \tag{15}$$

上文已经证明在三层介质中，，因此上式可以改写为

$$A_2 = \frac{T_{1,2} A_1 e^{j\left(k_{1,z} - k_{2,z}\right) d_1} }{1 - R_{2,1} R_{2,3} e^{j2 k_{2,z} \left( d_2 - d_1 \right)}} \tag{16}$$

由上式可以看到，相邻层的可以用上一层的$A_{i-1}表示，所以有

$$A_{i} e^{j k_{i,z} d_{i-1}} = \frac{T_{i-1,i} A_{i-1} e^{j k_{i-1,z} d_{i-1}}}{1 - R_{i,i-1} \tilde{R}_{i,i-1} e^{j 2 k_{i,z} \left( d_i - d_{i-1} \right)}} = A_{i-1} e^{j k_{i-1,z} d_{i-1} }S_{i-1,i} \tag{17}$$

其中

$$S_{i-1,i} = \frac{ T_{i-1,i} }{ 1 - R_{i,i-1} \tilde{R}_{i,i+1} e^{j 2 k_{i,z} \left( d_i - d_{i-1} \right) } } \tag{18}$$

在广义反射系数的推导中，已经给出了其解析解，而透射系数与反射系数可以通过菲涅尔定理得到，因此可以根据这几个已知参数计算得到。当区域1中的已知时，分层介质中的可以通过递推得到，如下所示

$$\begin{aligned} A_i e^{j k_{1,z} d_{i-1}} &= A_1 e^{j k_{1,z} d_1} S_{1,2} e^{j k_{2,z} \left( d_2 -d_1\right ) } S_{2,3} \cdots e^{j k_{i-1,z} \left( d_{i-1} - d_{i-2} \right)} S_{i-1,i} \\ &= A_1 e^{j k_{1,z} d_1} \prod_{j = 1}^{i-1} e^{j k_{j,z} \left( d_j - d_{j-1} \right)} S_{j,j+1} \tag{19} \end{aligned}$$

其中，由于区域1的介质是半无限的，为了使上式成立，需令。因此，第层的广义透射系数可以定义为

$$\tilde{T}_{1,i} = \prod_{j=1}^{i-1} e^{j k_{j,z} \left( d_j - d_{j-1} \right)} S_{j,j+1} \tag{20}$$

仿真分析

实验1:单层介质——空气

电磁波参数：频率100MHz，波长2.997924580000000m。
介质层数：1层空气，相对介电常数为1。
其中辐射源为VED，坐标设置在(0,0,0)处，且I=1A，l=0.5。
取rho=2，则该点源在空气中的分布与相位分布如下所示。

实验2：双层介质——半空间

电磁波参数：频率100MHz，波长2.997924580000000m
介质层数：2层，1个分界面，区域1为空气，相对介电常数为1，区域2相对介电常数为5。
上下均视为半无限介质，分界面坐标为z=-10m。
源为VED，坐标设置在(0,0,0)处，其中，I=1A，l=0.5。
取rho=2，则该点源在半空间中的分布与相位分布如下所示。

实验3：三层介质——空气-介质-空气

电磁波参数：频率100MHz，波长2.997924580000000m
介质层数：3层，2个分界面，区域1为空气，相对介电常数为1，区域2为墙体，相对介电常数为5，区域3为空气，相对介电常数为1。
介质层厚度为0.5m，2个分界面的坐标分别为z=-10m，z=-10.5m。
源为VED，坐标设置在(0,0,0)处，其中，I=1，l=0.5。
取rho=2，则该点源在三层介质中的分布与相位分布如下所示。