波形设计——涡旋电磁波

涡旋电磁波

1.轨道角动量(orbital angular momentum,OAM)

优点：

在平面波的基础上增加OAM调制，使其传播等相面由平面扭曲为空间螺旋结构。

同时利用不同整数模态之间的正交特性，可对波束内目标进行差异性度量与显示。

螺旋相位波前照射目标时，可直接在不同方位处形成相位差异，类似平面波对目标进行了角度分集照射，为波束内目标分辨提供了物理基础。

涡旋电磁波回波信号在模态域与方位角域的表征形成傅里叶变换对，具有直接在模态域快速处理和实现高分辨方位成像的潜力。

涡旋电磁波的另一优势为可以观测到旋转多普勒效应。

（可同时在视线方向与垂直视线方向产生多普勒频移）

2.涡旋电磁波的基本概念与特点

2.1定义：

将携带OAM的电磁波称为涡旋电磁波。

OAM：.其中，为模态数，为导向矢量

当时为平面波。

模态数的正负表示等相面的旋转方向，大小表示扭曲程度，模数越大，相位变化更剧烈。

2.2 产生

（1）螺旋赋形法

（2）环形阵列法。将阵元均匀放置在圆周上并对其调相，使相邻的阵元产生连续的相位延时，来模拟方位上整个周期的相位旋转。

（3）行波天线法

2.3 成像原理

平面波：

平面波成像通过雷达与目标的相对运动，波束扫描，阵列等方式得到差异性激励相位。

（差异性的来源是波程差）

涡旋波：

涡旋波成像通过差异性调制的波前与目标相互作用来获得所需相位差。

涡旋波辐射场相位分布可以看成是多个平面波从连续不同的方位角同时照射的结果，实现了角度分集的效果。

在单模态涡旋波照射下，任意两个位置之间的相位差是恒定的，不同时刻的接收回波所含的相位差相同，因此电磁涡旋成像需要使用多种模态的涡旋波照射目标。

通过遍历不同模态相互正交的涡旋电磁波照射观测目标，在不同方位向处形成差异性相位激励，再结合成像算法可实现目标凝视成像。

UCA可以通过改变馈电相位生成各种模态的电磁波。

3.电磁涡旋成像数学模型

基于环形阵列法的调相均匀圆阵电磁涡旋成像数学模型。

考虑半径为的UCA，发射天线个数为,圆心为坐标原点，阵列位于XOY平面。所有个天线独立地发射信号，产生涡旋电磁波，同时所有天线用于接收目标回波信号（多发多收体制，收发同体怎么实现？）。

对各阵元施加频率相同，初相不同的信号。其中，第个阵元的方位角为。

涡旋电磁波的模态为，为方便计算，暂不考虑幅度信息，即发射信号的幅度为1，则第个阵元的发射信号为:

$$s_n(t)=\exp(j2\pi f_{c}t + j\varphi_{n})\exp(j2\pi\frac{1}{2}kt^{2})$$

其中，为第个阵元的初相。为载频，为调频斜率，为快时间采样时刻。

远场信号模型：

发射:

远场中任一点处的信号(辐射场)为

$$s_p(\alpha,\mathbf{r})=\sum_{n=0}^{N-1}\frac{\exp(jk|{\mathbf{r}-\mathbf{r_n}| + j\alpha\phi_n})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r_n}|} \\$$

根据远场近似条件，有

$$|\mathbf{r}-\mathbf{r_n}|\approx r-\hat{r}\cdot\mathbf{r_n}$$

代入上式，有

$$\begin{aligned} s_p(\alpha,\mathbf{r})&\approx\sum_{n=0}^{N-1}\frac{\exp(jk{(r-\hat{r}\cdot\mathbf{r_n}) + j\alpha\phi_n})}{r-\hat{r}\cdot\mathbf{r_n}} \\ &\approx \frac{\exp(jkr)}{r}\sum_{n=0}^{N-1}\exp(-jk\hat{r}\cdot\mathbf{r_n}+j\alpha \phi_n) \\ &=\frac{\exp(jkr)}{r}\sum_{n=0}^{N-1}\exp(-jk\hat{r}\cdot\mathbf{r_n})\exp(j\alpha \phi_n) \\ &=\frac{\exp(jkr)}{r}\sum_{n=0}^{N-1}\exp(-jkasin\theta cos(\phi-\phi_n))\exp(j\alpha \phi_n) \\ \end{aligned}$$

其中，

$$\hat{r}\cdot\mathbf{r_n}=asin\theta cos(\phi-\phi_n)$$

上式还可以继续化简为第一类Bessel函数的近似:

$$s_p(\alpha,\mathbf{r})\approx\frac{Nj^{-\alpha}}{r}J_{\alpha}(kasin\theta) \exp(jkr)\exp(j\alpha\phi)$$

假设目标为理想的点散射模型，点P的后向散射系数为，则第个阵元的接收信号为

$$\begin{aligned} &s_r^n(\alpha,\mathbf{r})=\sigma(r,\theta,\phi)s_p(\alpha,\mathbf{r})\times \frac{\exp(jk|\mathbf{r}-\mathbf{r_n}|)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r_n}|} \\ &=\sigma(r,\theta,\phi)\frac{Nj^{-\alpha}}{r}J_{\alpha}(kasin\theta) \exp(jkr)\exp(j\alpha\phi) \\ &\times \frac{\exp(jkr)\exp(-jk\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{r_n})}{r} \\ &=\sigma(r,\theta,\phi)\frac{Nj^{-\alpha}}{r^2}J_{\alpha}(2kasin\theta) \exp(jkr)\exp(j\alpha\phi) \\ &\times \exp(-jkasin\theta cos(\phi-\phi_n)) \\ \end{aligned}$$

接收:

​ 接收时，同样对第个阵元的接收回波施加相移，采用相同的涡旋模式进行接收，将各阵元信号进行相干叠加，得到天线阵列输出为：

$$s_r(\alpha,\mathbf{r})=\sum_{n=0}^{N-1}s_r^n(\alpha,\mathbf{r})\exp(j\alpha\phi_n)\\$$

​ 假设场景中存在个理想的散射点，第个散射点的强度为,散射点的位置为。根据线性叠加原理，目标回波可以表示为

$$s_r(\alpha,k)=N^2\sum_{m=1}^{M}\frac{\sigma_m}{r_m^2}J_{\alpha}^2(kasin\theta_m)\exp(j2kr_m)\exp(j2\alpha\phi_m)\exp(-j\alpha\pi)$$

​ 回波包络受贝塞尔函数的平方调制，其调制规律与涡旋波辐射强度分布相同。

​ 回波中包含3个相位项，前两项为距离、方位信息，第三项为无关项，解调时对每种模态的涡旋波的回波乘以其共轭可以消除。俯仰信息包含在回波包络中。

4.目标大俯仰角情况下傅里叶变换法成像

​ 采用LFMCW-OAM涡旋波照射目标时，回波模型为平方贝塞尔函数加权的傅里叶基函数的线性组合，目距离和方位角可以利用傅里叶变换方法解耦得到。

​ 但是幅度调制项中包含了与距离和方位角有关的频率和OAM模态,需要特别考虑幅度调制的影响。

当时，平方贝塞尔函数可以近似为

$$J^2_{\alpha}(kasin\theta)\approx\frac{1}{\pi kasin\theta}[1-sin(\alpha\pi - 2kasin\theta)]$$

上式中，回波信号的包络在波数维和模态维均可以近似为带有直流分量的正弦函数。

根据频域卷积定理，用傅里叶变换方法处理回波，重构得到的图像是目标散射点分布于上式二维谱的卷积结果。成像性能取决于平方贝塞尔函数在两个维度的谱性质，可以用点扩散函数表示为

$$\mathcal{J}_\alpha(\phi)\triangleq\int_{-\alpha_m}^{\alpha_m}J_\alpha^2(kasin\theta)e^{-j\alpha\phi}d\alpha\\ \mathcal{J}_k(r)\triangleq\int_{k_l}^{k_h}J_\alpha^2(kasin\theta)e^{-jkr}dk\\$$

其中，与分别是涡旋电磁波的最高频率和最低频率，上式为模态维和波数维的PSF。根据平方贝塞尔函数可知，由于直流分量的存在，两个维度的PSF均在零点位置有峰值，且在两侧出现对称的正弦分量，零频处的单峰将提供目标分辨能力。

​ 则目标散射点的二维散射强度分布可以由下式获得

$$g(\phi,r)=\iint S_r(\alpha,k)\exp[-j(kr+\alpha\phi)]d\alpha dk$$

即2D-FFT。

注意：当或是增大时，波束主瓣张角会变小，如果目标处于波束轴附近的主瓣照射区域，那么

目标所处的俯仰角将很小。因此，目标需位于远离波束轴的大俯仰区域才能保证成立。

5.FMCW-OAM radar

5.1发射信号：

$$s_n(t,l)=e^{j2\pi f_c t+ jK\pi t^2}e^{jl\phi_n}$$

其中，为载波频率，为调频斜率，为第个阵元相对参考阵元的相位差。

5.2接收信号:

$$s_r(t,l)=\sum_{n=0}^{N-1}e^{j2\pi f_c (t-t^\prime_n)+ jK\pi (t-t_n^\prime)^2}e^{jl\phi_n} \\ \approx NJ_l (kasin\theta_T)e^{jl\pi/2}e^{j2\pi f_c (t-\tau)+jK\pi(t-\tau)^2}e^{jl\phi_T}$$

其中，目标在球坐标系下的位置为(斜距，方位，俯仰),为波数，为目标到达阵列中心的时延。

5.3去斜处理:

将接收回波与参考信号混频，得到中频信号为

$$s_{IF}(t,l)\approx NJ_l(kasin\theta_T)e^{jl\frac{\pi}{2}}e^{j2\pi f_c\tau + jK\pi(2t\tau-\tau^2)}e^{jl\phi_T}$$ $$\tau=\frac{2R_T(t)}{c} \\ =\frac{2\sqrt{(X_T+vtcos\phi_v)^2 + (Y_T+vtsin\phi_v)^2 + H^2 }}{c}\\ \approx \frac{2(R_T+\frac{X_T cos\phi_v+Y_T sin\phi_v}{c}vt)}{c}$$

令,上式可以近似为

$$s_{IF}(t,l)=J_l(kasin\theta_T)e^{j2l\phi_T}e^{j4\pi(\frac{KR_T+\beta vf_c}{c})t}e^{j4\pi \frac{f_c R_T}{c}}$$

5.4距离速度估计：

对距离维做FFT（离散形式直接乘以傅里叶基函数后加权求和）后，得到

$$S(f,l)=J_l(kasin\theta_T)e^{jl\phi_T}e^{j4\pi R_T\lambda^{-1}} \sum_{p=0}^{P-1}e^{j2\pi(\frac{KR_T c^{-1}+f_d}{f_s}-\frac{P}{N})p}$$ $$S(f,l)=J_l(kasin\theta_T)e^{jl\phi_T}e^{j4\pi R_T\lambda^{-1}} \sum_{p=0}^{P-1}e^{j2\pi(\frac{KR_T c^{-1}+f_d}{f_s}-\frac{f}{P})p}$$

其中，为多普勒频率。为采样频率，为波长。为快时间采样点。

则目标距离可以解算为

$$\begin{aligned} &R_T = (f_T - f_d T )\frac{c}{2B} \\ &\Delta R=\frac{c}{2B} \end{aligned}$$

上式中，当满足以下条件:

$$|\beta v|<\frac{c}{4Tf_c}$$

则目标的脉间徙动可以忽略不计。

速度估计需要雷达发射多个周期信号。

距离FFT后，多脉冲的回波信号可以写为

$$S(f,l,m)=PJ_l(kasin\theta_T)e^{jl\phi_T}e^{j4\pi(R_T+m\beta vT)\lambda^{-1}}$$

当脉冲数较高时，目标速度引起的角度位置变化将不可忽略，可以由如下关系得到

$$\begin{aligned} \phi(t)&=arctan\frac{Y_T+vtsin\phi_v}{X_T+vtcos\phi_v} \\ &\approx \phi_T + \frac{sin\phi_v X_T-cos\phi_{v}Y_T}{R_T}vt\\ &=\phi_T + \alpha vt \end{aligned}$$

代入上式，可得

$$S(f,l,m)=PJ_l(kasin\theta_T)e^{jl\phi_T}e^{j4\pi\frac{R_T}{\lambda}}e^{j(l\alpha+\frac{4\pi \beta}{\lambda})mTv}$$

同样的，慢时间FFT后，得到

$$S(f,l,f_v)=PJ_l(kasin\theta_T)e^{jl\phi_T}e^{j4\pi\frac{R_T}{\lambda}} \sum_{m=0}^{M-1} e^{j[(l\alpha+\frac{4\pi \beta}{\lambda})Tv-2\pi\frac{f_v}{M}]m}$$

速度解算为

$$v=\frac{2\pi \Omega_T}{MT(l\alpha+\frac{4pi\beta}{\lambda})}$$

速度分辨率为

$$\Delta v = \frac{2\pi}{MT(l\alpha+\frac{4pi\beta}{\lambda})}$$

其中，

$$\alpha = \frac{sin\phi_v X_T - cos\phi_v Y_T}{R_T}$$

5.5角度估计：

目标的角度与模态构成了一对傅里叶变换对，因此可以直接用FFT处理来估计目标角度。

角度分辨率可由PSF得到。

$$PSF = \int_{-l_m}^{l_m}e^{jl\phi}dl=2l_msinc(l_m\phi)\\ \Delta \phi = \pi/l_m$$

5.6 3-D 参数估计

假设雷达发射个模态的FMCW-OAM信号，快时间采样点为,慢时间采样点为，则回波数据矩阵为。

目标回波的幅度受平方贝塞尔函数调制，利用俯仰角信息可以进行补偿，消除贝塞尔函数对幅度的影响。

5.7总结

一些疑惑：

1.目标角度谱的幅度受到平方贝塞尔函数的调制，若想得到高精度的角度谱，需要消除该调制项的影响(未消除平方贝塞尔函数的影响时，在频谱上会出现伪像)。

而该调制项与阵列的半径、目标与阵列中心的仰角有关，仰角如何作为一个已知条件使用？

(若俯仰角可以预先估计得到，则可以消除平方贝塞尔函数的影响，同时可以用于问题2中的目标位置解算)

GRSL中雷达放置在固定的高度，对地面进行探测，可以根据一维距离像求出斜距，进而计算目标的俯仰角，从而补偿掉平方贝塞尔函数的影响。

一篇会议中提到，

2.目标的速度相位项中耦合了模态以及、这两个与目标的速度方向、目标坐标相关的项，如何正确解算目标的速度？

想法1：先估计目标的距离-角度谱，得到目标与阵列的斜距以及方位夹角，结合俯仰角，即可以确定目标的空间坐标，而利用该空间坐标，即可以反推目标的速度值（然而，还有个速度夹角是未知量？）。

想法2：速度分辨率与模态数挂钩，可以选择合适的模态数对应回波信号来估计速度，但是目标的速度夹角应该还是未知的，如何求解正确的速度。